几何最值问题求法

摘要:北京时间20200218关于【几何最值问题求法】的具体情况和说明,让www.qmndfjj.cn新闻频道以图文形式为您慢慢道来。

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一、几何法

利用平面几何性质求解最值问题,这种解法若运用得当,往往显得非常简洁明快.

例1 、已知P (x,y )是圆上的一点,求的最大值与最小值。

分析:,于是问题就可以转化为在以A(2,0)为圆心,以为半径的圆上求点P,使它与原点连线的斜率为最大或最小。

由示意图可知,当OP 与此圆相切时,其斜率达到最大值或最小值。由OA=2 ,AP 1 =AP 2 =

,且AP 1 ⊥OP 1 ,AP 2 ⊥OP 2 ,OP 1 =OP 2 =1 ,且∠AOP 1 = ∠AOP 2 =60 °,得。

二、代数法

用代数法求最值常用的方法有以下几种:

1 、利用判别式法求最值、利用此法求最值时,必须同时求得变量的范围,因为方程有解,Δ≥0 所指的是在()范围内方程有解,这一点应切记.

例2 、(同例1 )

分析:设,将y=kx代入圆方程得。x为实数,方程有解,,解得,故。

即。

2 、利用二次函数性质求最值.用此法求最值时,必须注意变量的取值范围.

例3 、已知椭圆及点P (0 ,5 ),求点P 到椭圆上点的距离的最大值与最小值.

分析:以(0,5)为圆心,若内切于椭圆的圆半径为r1 ,则r1 为点P到椭圆上点的距离的最小值;若外切于椭圆的圆半径为r2 ,则r2 为点P到椭圆上点的距离的最大值.

因,故点P (0 ,5 )在椭圆内部.

设以(0 ,5 )为圆心的圆方程为,与椭圆方程联立消去x 2 ,得。当;当y=7 时,,即。

注:这里将距离的最大值、最小值的探求转化为半径r 的函数,利用函数的性质求得定义域内的最大值、最小值.值得注意的是因为r 的定义域的限制,这里不适合利用判别式法.

3 、利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值时,必须注意应用基本不等式的条件,特别要注意等号的条件以及“和”(或“积”)是不是常数,若连续应用不等式,那么要特别注意同时取等号的条件是否存在.若存在,有最值;若不存在,无最值.

例4 、过点A (1 ,4 )作一直线,它在两坐标轴上的截距都为正数,且其和为最小,求这条直线的方程.

分析:可用截距式设所求直线方程为。

∴,当且仅当时s 取最小值,即b=6 。故所求直线方程为。


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